【数学書は1日1時間】An Introduction to Chaotic Dynamical Systems §1.3 (11日目)

前書き

この記事はRobert L. Devaney著
「An Introduction to Chaotic Dynamical Systems Second Edition」

An Introduction To Chaotic Dynamical Systems, Second Edition (Addison-Wesley Studies in Nonlinearity)

を1日1時間ほど読んですぐ、内容を記事に起こしたものである。これ以上詳しいことは1日目の前書きを見るべし。

Jacobi's Theorem

　例3.11と、もう一つ大事な円周上の写像の種類は平行移動の写像である。

例3.12 (円の平行移動)

　$\lambda\in\mathbb{R}$と$T_\lambda(\theta)=\theta+2\pi\lambda$とする。写像$T_\lambda(\theta)$は$\lambda$が有理数か無理数かによって挙動が大きく異なる。もしも$p, q\in\mathbb{Z},\ q \mathrlap{\,/}{=}0$として$\lambda=p/q$であるならば、$T^q_\lambda(\theta) = \theta + 2\pi p = \theta$であるから、全ての点は$T^q_\lambda$によって固定される。$\lambda$が無理数のときには状況は大きく異なる。次の結果はJacobiの定理として知られているものである。

定理3.13

　軌道$T_\lambda$は$\lambda$が無理数であるとき、$S^1$で稠密である

証明

　$\theta\in S^1$とする。$\theta$の軌道の点は異なる。なぜならば、$T^n_\lambda(\theta) = T^m_\lambda(\theta)$であるならば、$(n-m)\lambda\in\mathbb{Z}$を得ることによって$n=m$となるからである。円周上の点の無限集合は必ず極限を持つ。したがって、与えられた任意の$\epsilon>0$に対して$|T^n_\lambda(\theta)-T^m_\lambda(\theta)| < \epsilon$*1となるような$n$と$m\ $が存在しなければならない。ここで $k=n-m\ $とすると$|T^k_\lambda(\theta)-\theta|<\epsilon$である。

　今、$T_\lambda$は$S^1$で長さを保つ。つまり、写像$T^k_\lambda$は$\theta$から$T^k_\lambda(\theta)$、$T^k_\lambda(\theta)$から$T^{2k}_\lambda(\theta)$への長さが$\epsilon$未満となるような円弧を描く*2。特に点$\theta, T^k_\lambda(\theta), T^{2k}_\lambda(\theta),\dots$は$S^1$を長さが$\epsilon$以下であるような円弧に分割する。$\epsilon$は任意であったから、これで証明終了である。

今日の数学はここまで。続きはまた明日。

*1:$T^n_\lambda(\theta)$または$T^m_\lambda(\theta)$に収束する数列

*2:$|T^k_\lambda(\theta)-T^{2k}_\lambda(\theta)|$は$2\pi k\lambda$であり、これは$|T^n_\lambda(\theta)-T^m_\lambda(\theta)|$と同じである。