私的未解決問題集

これは何？

　この記事は私が数学やそのほかの勉強をしたり、あるいはお風呂に入ってたりお散歩をしているときにふと出てき問題のうち、未だに未解決な問題を忘れないように書き記したものです。問題を解決した方がいらっしゃったら是非一報連絡をください。

未解決問題

1. 群の完備化の準同型写像について

群 $G$ を $G$ の部分群列 $\{G_n\}$ で完備化したものを $\displaystyle \hat G := \lim_{\leftarrow} G/G_n$ と書くことにします。 また、$G$ の元 $x$ を定数列 $(x)$ に送る写像を $\phi:G \rightarrow \hat G$ とし、 $\phi$ が同型写像のとき $G$ は完備であるということにします。

問題
$G$ と $\hat G$ の間に適当な同型写像 $f$ が存在するとき、常に $G$ と $\hat G$ は完備 i.e. 標準的な準同型写像 $\phi: G \rightarrow \hat G$ は同型であるか？

備考
この問題は、「$f = h \circ \phi$ なる準同型写像 $h: \hat G \rightarrow \hat G$ が存在するか？」という問題に置き換えることで $\phi$ の普遍性的なアレがこう見えてくるという風に捉えられるよね～...みたいな。