【数学書は1日1時間】An Introduction to Chaotic Dynamical Systems §1.6 (25日目)

前書き

この記事はRobert L. Devaney著
「An Introduction to Chaotic Dynamical Systems Second Edition」

An Introduction To Chaotic Dynamical Systems, Second Edition (Addison-Wesley Studies in Nonlinearity)

を1日1時間ほど読んですぐ、内容を記事に起こしたものである。これ以上詳しいことは1日目の前書きを見るべし。

§1.6の演習問題

　「An Introduction to Chaotic Dynamical Systems Second Edition」には演習問題の答えが付属していません。そのため、ここに載せた答案は間違っている可能性があります。間違い等に気づきましたらお知らせくださると助かります。

1.

$$\begin{aligned} \bold s=(001\ 001\ 001\ \cdots) \\ \bold t=(01\ 01\ 01\ 01\ \cdots) \\ \bold r=(10\ 10\ 10\ 10\ \cdots)\end{aligned}$$ とする。次を計算せよ。
1. $d(\bold{s, t})$
2. $d(\bold{t, r})$
3. $d(\bold{s, r})$

解答

1. $|s_i-t_i|$により得られる数列は$0,1,1,1,0,0,0,1,1,1,0,0,0,\dots$であるから

$$d(\bold{s,t})=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}\right)\sum^\infty_{i=0}\left(\frac{1}{2^{6i}}\right)=\frac{8}{9}$$ 2. $|t_i-r_i|$により得られる数列は$1,1,1,\dots$であるから

$$d(\bold{t, r})=\sum^\infty_{i=0}\frac{1}{2^i} = 2$$ 3. $|s_i-r_i|$により得られる数列は$1,0,0,0,1,1,1,0,0,0,1,1,1,0,0,0,\dots$であるから

$$d(\bold{s,r})=\left(1+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}\right)\sum^\infty_{i=0}\left(\frac{1}{2^{6i}}\right)=\frac{10}{9}$$

2.

　$\omega$にたいして、$\Omega_2$内の周期$3$の周期点となる全数列を見つけ出せ。どの数列らが$\omega$の下での同じ軌道に存在するか？

解答

　長さが$3$の$0$と$1$で構成された文字列が繰り返される数列がその周期点である。つまり

$$(000\ 000\cdots), (001\ 001\cdots), (010\ 010\cdots), \dots,(110\ 110\cdots),(111\ 111\cdots)$$ の全$8$個である。同じ軌道に存在する数列は

$$(001\ 001\cdots), (010\ 010\cdots), (100\ 100\cdots)$$ と

$$(011\ 011\cdots), (110\ 110\cdots), (101\ 101\cdots)$$ の二組である。

3.

　周期$4$と周期$5$について演習問題2を再度解け。

解答

・周期$4$について
長さが$4$の$0$と$1$で構成された文字列が繰り返される数列がその周期点である。つまり

$$(0000\ 0000\cdots), (0001\ 0001\cdots), (0010\ 0010\cdots), \dots,(1110\ 1110\cdots),(1111\ 1111\cdots)$$ の全$16$個である。同じ軌道に存在する数列は

$$\begin{aligned} (0010\ 0010\cdots), (0010\ 0010\cdots)&, (0100\ 0100\cdots), (1000\ 1000\cdots)\\ \\ (0011\ 0011\cdots), (0110\ 0110\cdots)&, (1100\ 1100\cdots), (1001\ 1001\cdots)\\ \\ (0111\ 0111\cdots), (1110\ 1110\cdots)&, (1101\ 1101\cdots), (1011\ 1011\cdots)\\ \\ (0101\ 0101\cdots)&, (1010\ 1010\cdots)\end{aligned}$$ の$4$組である。

・周期$5$について
長さが$5$の$0$と$1$で構成された文字列が繰り返される数列がその周期点である。つまり

$$(00000\ 00000\cdots), (00001\ 00001\cdots), (00010\ 00010\cdots), \dots,(11110\ 11110\cdots),(11111\ 11111\cdots)$$ の全$32$個である。同じ軌道に存在する数列は

$$\begin{aligned} &(00001\ 00001\cdots),(00010\ 00010\cdots),(00100\ 00100\cdots),(01000\ 01000\cdots),(10000\ 10000\cdots)\\ \\ &(00011\ 00011\cdots),(00110\ 00110\cdots),(01100\ 01100\cdots),(11000\ 11000\cdots),(10001\ 10001\cdots) \\ \\ &(00111\ 00111\cdots),(01110\ 01110\cdots),(11100\ 11100\cdots),(11001\ 11001\cdots),(10011\ 10011\cdots)\\ \\ &(01111\ 01111\cdots),(11110\ 11110\cdots),(11101\ 11101\cdots),(11011\ 11011\cdots),(10111\ 10111\cdots)\\ \\ &(00101\ 00101\cdots),(01010\ 01010\cdots),(10100\ 10100\cdots),(01001\ 01001\cdots),(10010\ 10010\cdots)\\ \\ &(01101\ 01101\cdots),(11010\ 11010\cdots),(10101\ 10101\cdots),(01011\ 01011\cdots),(10110\ 10110\cdots)\\ \\ &(01011\ 01011\cdots),(10110\ 10110\cdots) \end{aligned}$$ の全$7$組である。

今日の数学はここまで。続きはまた明日。