【数学書は1日1時間】An Introduction to Chaotic Dynamical Systems §1.3 (13日目)
前書き
この記事はRobert L. Devaney著
「An Introduction to Chaotic Dynamical Systems Second Edition」
- 作者: Robert Devaney
- 出版社/メーカー: Westview Press
- 発売日: 1989/01/21
- メディア: ハードカバー
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§1.3の演習問題
「An Introduction to Chaotic Dynamical Systems Second Edition」には演習問題の答えが付属していません。そのため、ここに載せた答案は間違っている可能性があります。間違い等に気づきましたらお知らせくださると助かります。
4.
演習問題3の写像における固定点についての安定な集合*1を特定せよ。
解答
a. ($f(x)=-x/2$)
固定点は$0$であり、$f^n(x)=x/(-2^n)$であるから、安定な集合は$\mathbb{R}$である。
b. ($f(x)=-3x$)
固定点は$0$であり、$f^n(x)=(-3)^nx$であるから、安定な集合は${0}$である。
c.
昨日の相図から、安定な集合は$[0, 1]$だと分かる。
$f(x)=x-x^2$の相図 d.
昨日の相図から安定な集合は$[0,\pi]$だと分かる。
$f(x)=\frac{\pi}{2}\sin x$の相図 e.
昨日の相図から安定な集合は$0$のみである。
$f(x)=-x^3$の相図 f.
昨日の相図から安定な集合は$[-1, 1]$である。
$f(x)=\frac{1}{2}(x^3+x)$の相図 5.
次の関数それぞれについて、critical points を全てリストアップし、それぞれがdegenerateかnon-degenerateかを決定せよ。
$$\begin{aligned} &a.\ f(x) = x^3 - x \\ &b.\ S(x)=\sin x \\ &c.\ f(x)=x^4-2x^2\\ &d.\ g(x)=x^3+x^4\end{aligned}$$
解答
a.
$f'(x)=2x-1=0$の解は$x=1/2$であるから、critical pointは$1/2$。$f''(1/2)=2\mathrlap{\,/}{=}0$より、これはnon-degenerateである。
b.
$S'(x)=\cos x=0$の解は$x=\pm\pi/2, \pm3\pi/2,\dots$であるから、これらがcritical pointである。$f''(x)=-\sin(x)$より、すべてのcritical pointはnon-degenerateである。
c.
$f'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)=0$の解は$x=0, \pm1$であるから、これらがcritical pointである。$f''(x)=12x^2-4$より、すべてのcritical pointはnon-degenerateである。
d.
$g(x)=3x^2+4x^3=x^2(3+4x)=0$の解は$x=0,-3/4$であるから、これらがcritical pointである。$f''(x)=6x+12x^2$であるから、$0$はdegenerate、$-4/3$はnon-degenerateである。
6.
円周上の次の写像の相図を記述せよ。ただし、$0<\epsilon<1/n$とする。
$$f(\theta) = \theta + \frac{\pi}{n} + \epsilon\sin(n\theta)$$
方程式$f(\theta)=\theta + \pi/n + \epsilon\sin(n\theta)=\theta$は$\pi = n\epsilon\sin(n\theta)$と変形できる。いま、$0<\epsilon<1/n$であるから、$0<n\epsilon < 1 < \pi$である。よって方程式の解は存在せず、固定点は存在しない。また、同様の理由で常に$f(\theta)>\theta$である。また、$f(\theta)-\theta$が最小になるのは、$\theta=3\pi/2n, 7\pi/2n,\dots, (4n-1)\pi/2n$のときであり、最大となるのは$\theta = \pi/2n, 5\pi/2n, \dots,(4n-3)\pi/2n$のときである。以上より、$f(\theta)$の相図は以下のようになる。
$n=3$のときの$f(\theta)$の相図
今日の数学はここまで。続きはまた明日。
*1:すなわち、反復回数を無限大の極限にとったときに、固定点にとなる点の集合
