【数学書は1日1時間】An Introduction to Chaotic Dynamical Systems §1.3 (15日目)
追記(2019/11/17). 問題7と問題8の解答を追加しました。
再開が一日遅れて申し訳ありませんでした。
前書き
この記事はRobert L. Devaney著
「An Introduction to Chaotic Dynamical Systems Second Edition」
- 作者: Robert Devaney
- 出版社/メーカー: Westview Press
- 発売日: 1989/01/21
- メディア: ハードカバー
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また、今までhomeomorphismを準同型写像と訳していましたが、「同相写像」の方が合っているため、今日からそのように記述します。
§1.3の演習問題
「An Introduction to Chaotic Dynamical Systems Second Edition」には演習問題の答えが付属していません。そのため、ここに載せた答案は間違っている可能性があります。間違い等に気づきましたらお知らせくださると助かります。
7.
$\mathbb{R}$の同相写像において、素周期(prime period)が$3$以上の周期点は存在しないことを示し、周期2の周期点を持つ同相写像を一つ取り上げよ。
解答
$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$を同相写像とし、$a, b, c$を$f$の素周期が3の点の軌道とする。すなわち、$f(a) = b, f(b) = c, f(c) = a$である。ここで、$f$は単調なので仮に単調増加であると仮定する。さらに$a < b$と仮定する。このとき、$f$が単調増加であるから、
$$f(a) = b < c = f(b)$$ を得る。このことから更に
$$f(b) = c < a = f(c)$$ を得る。上の二式から$b<a$が導き出せるがこれは矛盾。$b < a$や$a < c$、$f$が単調減少の場合も同様に矛盾が生じる。ゆえに$f$は素周期が$3$以上の周期点を持たない。
8.
同相写像は最終的周期点を持たないことを示せ。
解答
同相写像$f:X\to X$が最終的周期点$x$を持つとする。すなわち、
$$^\exist i\in\mathbb{Z}\text{ s.t. } f^{i-1}(x) \mathrlap{\,/}{=} f^i(x) \land f^i(x) = f^{i+1}(x)$$ ゆえに、上の式の等式に各写像に$f^{-i}$を合成すれば
$$x = f(x)$$ を得る。さらに先ほどの式の不等式に各写像に$f^{-i+1}$を合成すれば
$$x \mathrlap{\,/}{=} f(x)$$ を得る。ゆえに矛盾。
9.
$S:S^1\to S^1$を$S(\theta) = \theta + \omega + \epsilon\sin\theta$で定義する。ここで$\omega, \epsilon$は定数である。このとき、$|\epsilon|<1$であるならば$S$は同相写像であることを証明せよ。
解答
$S$が連続であることは明らかである。$S'(\theta) = 1 + \epsilon\sin\theta$である。ここで$|\epsilon|<1$であるから常に$\epsilon\sin\theta > -1$。よって$S'(\theta) > 0$すなわち、$S$は単調増加関数である。よって$S$は単射。また、$\omega=0$のとき、$S(0)=0, S(2\pi)=2\pi$であるから、中間値の定理より$S$は全射である。一般の$\omega$に対しても、$\omega=0$のときの$S$の切片が変化するだけであるから同じく全射である。最後に、$S^{-1}$も明らかに連続であるから、$S$は同相写像である。
10
$f(\theta)=2\theta$を例題3.4で議論した$S^1$上の写像とする。$f$の周期点の集合は$S^1$で稠密であることを証明せよ。
解答
例題3.4の議論から周期$n$の周期点$\theta$は$\theta=2k\pi/(2^n-1)$であった。ただし、$k$は$2^n$以下の自然数である。ここで$2^n$個の点$\theta=2k\pi/(2^n-1)$は$S^1$を$2^n$等分している。よって$n\to\infty$のとき、点$\theta=2k\pi/(2^n-1)$は$S^1$を埋め尽くす。
11
演習問題10.における写像の最終的周期点もまた$S^1$で稠密であることを示せ。
解答
例題3.4の議論と同様にして、周期$n$の最終的周期点は$\theta=2k\pi/2^i(2^n-1)$であることが分かる。ただし、$k$は$2^{i+n}$以下の自然数である。演習問題10と同様にこの最終的周期点は$S^1$を$2^{i+n}$等分している。よって、$n\to \infty$のとき、点$\theta=2k\pi/2^i(2^n-1)$は$S^1$を埋め尽くす。
2問答えが分からない問題がありかなりハードな演習問題でした。これからも頑張りたいと思います。
今日の数学はここまで。続きはまた明日。
