【数学書は1日1時間】An Introduction to Chaotic Dynamical Systems §1.4 (17日目)

前書き

この記事はRobert L. Devaney著
「An Introduction to Chaotic Dynamical Systems Second Edition」

An Introduction To Chaotic Dynamical Systems, Second Edition (Addison-Wesley Studies in Nonlinearity)

を1日1時間ほど読んですぐ、内容を記事に起こしたものである。これ以上詳しいことは1日目の前書きを見るべし。

§1.4の演習問題

　「An Introduction to Chaotic Dynamical Systems Second Edition」には演習問題の答えが付属していません。そのため、ここに載せた答案は間違っている可能性があります。間違い等に気づきましたらお知らせくださると助かります。

1.

次のそれぞれの写像の周期点を全て見つけ出し、それらが吸引的・反発的・どちらでもないかを分類せよ。さらに相図を描け。

$$\begin{aligned} &a.\ f(x)=x-x^2 \\ &b.\ f(x)=2(x-x^2) \\ &c.\ f(x)=x^3-\frac{1}{9}x \\ &d.\ f(x)=x^3-x \\ &e.\ S(x)=\frac{1}{2}\sin x \\ &f.\ S(x)=\sin x \\ &g.\ E(x)=e^{x-1} \\ &h.\ E(x)=e^x \\ &i.\ A(x)=\tan^{-1}x \\ &j.\ A(x)=\frac{\pi}{4}\tan^{-1}x \\ &k.\ A(x)=-\frac{\pi}{4}\tan^{-1}x \end{aligned}$$

解答

a.

　$f(x)=x-x^2=x$を解けば、固定点は$x=0$のみ。$f(x)\leq x$であるから$n>0$に対して$f^n(x)\leq x$。よって$f^n$の固定点は$x=0$のみである。$f'(0)=-1$であるから$0$は吸引的でも反発的でもない。

b.

　$f(x)=2(x-x^2)=x$を解けば、固定点は$x=0, 1/2$。それ以外の周期点はない。$f'(0) = 2, f'(1/2)=0$より$0$は反発的、$1/2$はどちらでもない。

c.

$f(x)=x^2-\frac{x}{9}=x$を解けば、固定点は$x=0, \pm\frac{\sqrt{10}}{3}$。それ以外の周期点は無い。$f'(0)=1/9, f'(\pm\frac{\sqrt{10}}{3})=29/9$より$0$は吸引的、$\pm\frac{\sqrt{10}}{3}$は反発的。

d.

$f(x)=x^3-x=x$を解けば、固定点は$x=0, \pm\sqrt{2}$。それ以外の周期点は無い。$f'(0)=-1, f'(\pm\sqrt{2})=5$より$0$はどちらでもなく$\pm\sqrt{2}$は反発的。

e.

$S(x)=\frac{1}{2}\sin x=x$を解けば、固定点は$x=0$。それ以外の周期点は無い。$S'(0)=1/2$より$0$は吸引的。

f.

$S(x)=\sin x = x$を解けば、固定点は$x=0$。それ以外の周期点は無い。$S'(0)=1$よりどちらでもない。

g.

$E(x)=e^{x-1}=x$を解けば、固定点は$x=1$のみ。それ以外の周期点は無い。$E'(1)=1$より$0$はどちらでもない。

h.

$E(x)=e^x=x$は実数解を持たない。よって固定点を持たない。

i.

$A(x)=\tan^{-1}x=x$を解けば、固定点は$x=0$のみ。それ以外の周期点は無い。$A'(0)=1$より$0$はどちらでもない。

j.

$A(x)=\frac{\pi}{4}\tan^{-1}x=x$を解けば、固定点は$x=0$のみ。それ以外の周期点は無い。$A'(0)=\pi/4$より$0$は吸引的。

k.

jと同様に固定点は$x=0$のみ。それ以外の周期点は無く、$A'(0)=-\pi/4$より$0$は吸引的。

各写像の相図

　

今日の数学はここまで。続きはまた明日。