【数学書は1日1時間】An Introduction to Chaotic Dynamical Systems §1.5 (22日目)

前書き

この記事はRobert L. Devaney著
「An Introduction to Chaotic Dynamical Systems Second Edition」

An Introduction To Chaotic Dynamical Systems, Second Edition (Addison-Wesley Studies in Nonlinearity)

を1日1時間ほど読んですぐ、内容を記事に起こしたものである。これ以上詳しいことは1日目の前書きを見るべし。

§1.5 の演習問題

　「An Introduction to Chaotic Dynamical Systems Second Edition」には演習問題の答えが付属していません。そのため、ここに載せた答案は間違っている可能性があります。間違い等に気づきましたらお知らせくださると助かります。

1.

$F_2(x)=2x(1-x)$は$0<x<1$ならば$n\to\infty$のとき、$F_2^n(x)\to1/2$となることを証明せよ。

解答

まずは$0<x<1/2$のときについて考える。このとき$x<F_2(x)<1/2$であるから$n\to\infty$のとき$F_2(x)^n\to1/2$となる。$1/2<x<1$のとき、$0<F_2(x)<1/2$である。よって$F_2(x)<F_2^2(x)<1/2$であるから、同様に$n\to\infty$のとき$F_2(x)^n\to1/2$。$x=1/2$のとき、$F_2(x)=1/2$である。以上を総括すれば、$0<x<1$ならば、$n\to\infty$のとき$F_2^n(x)\to1/2$となる。

2.

　単位区間上の$F_4^n(x)$のグラフを描け。ここで$F_4(x)=4x(1-x)$である。さらに、$F_4$は少なくとも$2^n$個の周期$n$の周期点を持つことを結論付けよ。

解答

図1．単位区間上の$F_4^3(x)$の概形

　$F_4$は区間$[0, \frac{1}{2}], [\frac{1}{2}, 1]$を$[0, 1]$に単調増加、単調減少しながら写す。よって、$[0, \frac{1}{2}], [\frac{1}{2}, 1]$上には$F^2_4$によってそれぞれ1つの起伏が出来るはずである。起伏の頂点は$1$なので、$[0, \frac{1}{2}]$に$F^2_4(c)=1$を満たすある$c$が存在する。よって$[0, c], [c, 1/2]$は$F^2_4$によって$[0,1]$に単調に写される。$[\frac{1}{2}, 1]$についても同様である。よって、$[0, \frac{1}{2}], [\frac{1}{2}, 1]$から生じる$4$つの区間上には$F^3_4$によって$4$つの起伏が出来る。
　この議論を繰り返せば、$F^n_4$では$2^{n-1}$個の起伏ができ、それぞれの起伏と対角線との交点は$2$つあるので、$F^n_4$の固定点は$2^n$個である。

3.

　次の式により定まるtent 写像の単位区間上のグラフを描け。

$$T_2(x)=\begin{cases} 2x &0\leq x\leq 1/2 \\ 2-2x &1/2\leq x\leq 1\end{cases}$$ 更に、$T^n_2$のグラフを用いて$T_2$は周期$n$の周期点をちょうど$2^n$個持つことを結論づけよ。

解答

図2. 単位区間上の$T_2^3$の概形

　上の図2から分かる通り,$T^n_2$は$2^{n-1}$個の起伏をもつので、$T^n_2$と対角線との交点は$2^n$個ある。

4.

　$T(x)$のすべての周期点の集合は$[0, 1]$において稠密であることを証明せよ。

解答

　$T^n_2$の固定点は$[0, 1]$を$2^n$等分した各区間にそれぞれ存在することを示す。
　$T_2$は区間$[0, \frac{1}{2}], [\frac{1}{2}, 1]$をそれぞれ線形に$[0,1]$に写す。よって、$T^2_2$によって$[0, \frac{1}{2}], [\frac{1}{2}, 1]$上には起伏がそれぞれ1つできる。起伏は区分線形であり傾きは$1/2, -1/2, 1/2, -1/2$である。起伏の頂点はそれぞれ$1/4, 3/4$であるから、$4$つの周期点はそれぞれ$[0,\frac{1}{4}], [\frac{1}{4},\frac{2}{4}], [\frac{2}{4},\frac{3}{4}], [\frac{3}{4}, 1]$上にそれぞれ1つ存在する。以上の議論を帰納的に続ければ、$F^n_2$の固定点は$[0,1]$を等分した$2^n$個の区間、$[0,2^{-n}], [2^{-n}, 2\ \cdot\ 2^{-n}], \dots,[(2^n-1)2^{-n}, 1]$にそれぞれ$1$つずつ存在する。よって$n\to\infty$のとき、$[0, 1]$はいくらでも小さい区間に分割され、それぞれに固定点が$1$つずつ存在する。

5.

　baker 写像

$$B(x)=\begin{cases}2x &0\leq x\leq 1/2\\ 2x-1 &1/2<x\leq 1 \end{cases}$$ のグラフを描け。周期$n$の周期点を$B$はいくつ持つ？

解答

図3. 単位区間上の$B(x)$の概形

　$B^n$は$[0,1]$に$2^n$個の等しい線分を持つ。$0\leq B^n(x)\leq 1$であるから、各線分と対角線の交点は$1$つである。よって周期$n$の周期点は$2^n$個ある。

今日の数学はここまで。続きはまた明日。