【数学書は1日1時間】An Introduction to Chaotic Dynamical Systems §1.1 (2日目)
前書き
この記事はRobert L. Devaney著
「An Introduction to Chaotic Dynamical Systems Second Edition」
- 作者: Robert Devaney
- 出版社/メーカー: Westview Press
- 発売日: 1989/01/21
- メディア: ハードカバー
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この本で何を学ぶか
前回の2つの2次関数による力学系から言える2つのことについて書く。最初の例、すなわち、$f(x)=4x(1-x)$によるものはカオス的、または予測不可能な現象を表している。このような現象はこの本のメインテーマのうちの一つであり、この完全な予測不可能性を解析するための方法を今後見ていくことだろう。2つ目の例、すなわち、$f(x)=3.839x(1-x)$によるものは比較的扱いやすく、最初の例のような予測不可能な初期値の集合の存在を認めるように見える。しかしながら、当然、計算の途中で数値を丸めたり、誤差が発生したりしているか、その複雑さから一目ではわからない。それにもかかわらず、後で述べるように、計算の精度を向上させるような系の重要な効果が(おそらく1つ目、2つ目の例どちらにも)背景に潜んでいる。
力学系と呼ばれているものは、関数を反復することにより得られるものの他にも多数の種類がある。例えば、微分方程式は"連続的"なものの一例だ。(これは離散力学系と対照的なものである。)ここではそのような種類のものは詳しく取り扱わない。
人口の予測
ここからいくつかの応用例について記す。力学系は古典力学の微分方程式によるものから、数理ファイナンス・生物学の差分方程式によるものまで多くの科学分野で偏在している。最初の応用例は生物学的な人口*1推移の予測である。 人口に関する生物学者は特定の種の人口の長期的な挙動に興味を持つ。観測や実験によって与えられたパラメータ(捕食者の数、気候条件、食料の数など)に対して生物学者は人口の変動を記述するための数学モデルを設定する。これはほとんどの場合、変動が連続的か離散的かによって微分方程式か差分方程式となるだろう。どちらの場合においても生物学者は初期人口$P_0$に対してどのようなことが起こるのかに興味を持つ。人口は$0$になる傾向があって、絶滅を導くだろうか？逆に人口は勝手に増大しやがて過密を迎えるだろうか？もしくは定期的な変化を起こすだろうか？それともランダム？読者の皆さんもお気づきだと思うが、生物学者が直面する人口に関する問題は力学系の典型的な疑問である。与えられた$P_0$に対して長期的な人口の推移を予測できるだろうか？
いくつかの単純な生物学的モデルは初等的なものによって計算できる。例えば指数関数的に増大もしくは減少する微分方程式は、しばしば学生の前に現れる最初の微分方程式である。このモデルについて考えるとき、我々はその時刻での人口の変動が種の人口数に直接比例するという仮定をする。もちろんこれは過密や死亡率といった明らかな要因を考慮していない極めて素朴なモデルだ。しかし、このモデルは特に単純なすぐに解ける微分方程式を生み出す。もし、$P(t)$が時刻$t$での人口数を表すとすれば、上記の仮定は次の方程式に翻訳できる。
$$\frac{dP}{dt} = k P$$
この方程式の解は$P(t) = P_0e^ {kt}$である。ここで$P_0=P(0)$は種の初期人口を表す。解の形から比例定数$k$が正ならば$P(t)\to \infty (t\to\infty)$となり人口爆発が導かれることがわかる。もし$k<0$ならば
$P(t)\to 0 (t\to\infty)$となり絶滅が導かれる。
今日の数学はここまで。明日はこの続きから。
*1:ここで人口とは人間だけに限らず、任意の種の数のことを指すこととする。
